0 dl1 ˆr. r 2 1 (6.27) B 1 ds 2 I 1 (6.28)

Transcrição

1 6.3 Indutância Indutância mútua Analisemos agora a possível interacção entre dois circuitos: consideremos um circuito 1 percorrido por uma corrente I 1, possivelmente variável no tempo, responsável por um campo magnético B 1 em todo o espço. As linhas deste campo magnético atravessam, em particular, a superfície definida por um outro circuito fechado 2, em que supomos nãohaverinicialmentecorrente. Noentanto,sehouverumavariaçãodeI 1 comotempo, tambémb 1 serávariável,gerandoumfluxovariávelatravésdosegundocircuito;deacordo com a lei de Faraday, este fluxo é responsável por uma força electromotriz induzida no segundocircuito,capazdepromoverumacorrenteinduzidai 2. De uma forma quantitativa, o campo gerado pelo primeiro circuito pode ser calculado atravésdaleidebiotedesavart,eésimplesmenteproporcionalàcorrentei 1 : B 1 = µ 0 dl1 ˆr 4π I 1 I r 2 1 (6.27) ofluxoφ 2 docampob 1 geradopeloprimeirocircuitoatravés dosegundo circuitoé assimtambémsimplesmenteproporcionalàcorrentei 1 : φ 2 = B 1 ds 2 I 1 (6.28) O coeficiente de proporcionalidade entre o fluxo gerado no segundo circuito pela corrente que atravessa o primeiro depende apenas da geometria de ambos os circuitos e designa-seindutânciamútuadoscircuitos,m 21,escrevendo-seassim: φ 2 =M 21 I 1 (6.29) Da lei de Faraday, a força electromotriz E 2 induzida no segundo circuito devido a variaçõesdei 1 comotempoé: E 2 = φ 2 dt = M I 1 21 dt (6.30) 115

2 É possível obter uma expressão para o cálculo da indutância mútua dos circuitos, que exprimeoseucaráctergeométrico. Partindodaeq. (6.28)aatendendoaqueB 1 = A 1, temos: φ 2 = B 1 ds 2 = ( A 1 ) ds 2 = A 1 dl 2 (6.31) Mas o potencial vector criado pelo circuito 1 escreve-se(da eq. 4.66): A 1 = µ 0 4π I dl1 1 r (6.32) pelo que: φ 2 = µ0 4π I dl1 1 r dl 2 (6.33) e a expressão da indutância mútua dos circuitos vem: M 21 = µ 0 dl1 dl 2 4π r (6.34) Esta expressão designa-se fórmula de Neumann e, para além de exprimir o carácter puramente geométrico da indutância mútua entre circuitos, indica-nos também um outro resultado muito importante e que justifica a designação indutância mútua: é que se considerarmos agora uma situação inversa da inicial, em que o circuito 1 é atravessado por umfluxoφ 1 devidoaumcampomagnéticob 2 geradoporumacorrentei 2 nocircuito2, ofactodeproporcionalidadem 12 entreφ 1 ei 2 éomesmo: M 12 =M 21 =M = µ 0 dl1 dl 2 4π r (6.35) 116

3 6.3.2 Auto-indutância Um aspecto muito relevante das correntes variáveis reside no facto de estas não só produzirem uma força electromotriz em circuitos próximos, mas também no próprio circuito onde circulam. Define-se assim, semelhantemente à indutância mútua entre circuitos, a auto-indutância, L, de um circuito, através do coeficiente de proporcionalidade entre o fluxoφdocampoqueatravessaocircuitoeacorrentei queopercorre: φ=li (6.36) AforçaelectromotrizE induzidaporumavariaçãodei comotempoéassim: E= dφ dt = LdI dt (6.37) Note-se que o sinal negativo indica que esta força electromotriz se opõe sempre à variação de fluxo, pelo que por vezes também recebe a designação de força contraelectromotriz. Quer a auto-indutância como a indutância mútua entre circuitos se medem, no sistema internacional,emhenry (H),sendo1H=1V sa Energia em circuitos magnéticos Estamos agora em condições de responder à pergunta que formulámos no início do capítulo: qual é a energia necessária para colocar uma corrente em circulação num circuito? Claramente, tratar-se-á da energia necessária para vencer a força contraelectromotriz que se produz pelo facto de, ao estabelecermos uma corrente num circuito, se estabelecer um campo magnético que gera um fluxo através do próprio circuito. Mais uma vez, sublinhamos dois aspectos importantes, antes de procedermos ao cálculo explícito da energia: esta energia não se confunde com possível energia necessária para manter uma corrente num circuito resistivo, descrita pela lei de Joule; esta energia corresponde à energia necessária para vencer o campo eléctrico associado à força electromotriz: o campo magnético não realiza trabalho; esta energia pode ser recuperada quando se desliga a corrente no circuito. 117

4 Energia armazenada numa auto-indutância Consideremos então o trabalho necessário para estabelecer uma corrente I num circuito de auto-indutância L. Para tal, necessitamos de variar a corrente desde zero até ao seu valor final. Na situação em que o circuito se encontra percorrido pela corrente i(t), que sefazvariaràtaxadi(t)/dt,énecessátiorealizarotrabalho E porunidadedecargaa vencer a forç contra-electromotriz E. A potência necessária é então: dw dt = Ei(t)=L di(t) dt i(t) W = I Obtém-se assim a energia armazenada na auto-indutância: 0 L i(t)di (6.38) W = 1 2 LI2 (6.39) Energia expressa em função do potencial vector e das correntes Podemos reescrever a expressão(6.39) atendendo a que, conforme vimos, o fluxo φ que atravessa o circuito de auto-indutância L percorrido pela corrente I, é: φ=li= B ds= ( A) ds= A dl (6.40) Então: W = 1 2 LI2 = 1 2 Iφ= 1 2 I A dl= 1 2 A Idl (6.41) Esta expressão é análoga da expressão(2.54) que encontrámos na electrostática para a energia electrostática numa densidade de carga sujeita a um potencial electrostático. Podemos reescrevê-la facilmente para o caso de densidades superficiais ou volúmicas de corrente: W = 1 2 A KdS (6.42) W = 1 2 A Jdτ (6.43) 118

5 Energia expressa em função do campo magnético Podemos ainda obter uma forma particularmente importante de exprimir a energia armazenada numa densidade de corrente J, responsável por um campo magnético B. A partir da expressão(6.43), temos: W = 1 2 A Jdτ = 1 A ( B)dτ (6.44) onde usámos aleideampère B=µ 0 J damagnetostática. Atendendoaindaà relação,conhecidadocálculovectorial, (A B)=B ( A) A ( B),obtemos: W = 1 B ( A)dτ 1 (A B)dτ (6.45) Os dois termos deste resultado podem ser analisados separadamente. O segundo termo pode reescrever-se com um integral de superfície recorrendo ao teorema de Gauss: 1 τ (A B)dτ = 1 (A B) ds (6.46) S ondes éasuperfíciequedelimitaovolumepercorridopeladensidadedecorrentej. No entanto, da expressão(6.43), é absolutamente claro que o integral pode ser estendido semqualquerproblemaatodooespaçoenãoprecisadeserlimitadoaoespaçopercorrido pelacorrente,umavezqueénulaacontribuiçãodapartedoespaçoondej=0. Assim,a superfície em causa no integral(6.46) pode ser estendida para infinito, dependendo então dosvaloresdopotencialaedocampobnoinfinito. Ora,emqualquersituaçãofísica, estasduasquantidadestendemparazeronoinfinito,peloqueointegral(6.46)énulo. 2 A expressão da energia reduz-se assim ao primeiro termo, desde que estendamos o integralatodooespaço. AtendendoaqueB= A,estetermopodeserreescritona forma: W = 1 B 2 dτ (6.47) 2 Maisumavez,cumprerecordarqueassituaçõesqueporvezesconsideramosemqueasdistribuições de correntes se estendem até ao infinito, constituem apenas aproximações extraordinariamente úteis. 119

6 Esta expressão traduz assim a energia magnetostática armazenada num campo magnético. A densidade correspondente é: 1 B 2 (6.48) Esta energia é designada magnetostática não por se dever a trabalho realizado por B,masporseraenergianecessáriaparacriaradistribuiçãodecorrentesqueoriginaB. Esta expressão é a equivalente da expressão(2.59) que encontrámos na electrostática. No casoemqueeoubvariamnotempo,estasduasexpressõescontinuamválidas,masem conjunto: W = ( ɛ0 2 E2 + 1 ) B 2 dτ (6.49) Na presença de materiais com propriedades eléctricas ou magnéticas, esta expressão podereescrever-seemfunçãodoscamposdeh: W = 1 2 (E D+B H)dτ (6.50) e, sendo o meios lineares, isotrópicos e homogéneos, caracterizados pela permissividade eléctrica ɛ e pela permissividade magnética µ, obtém-se ainda: W = ( ɛ 2 E2 + 1 ) 2µ B2 dτ (6.51) 120

7 6.5 Corrente de deslocamento de Maxwell: lei de Ampère-Maxwell Estado da arte As equações básicas que governam o comportamento das cargas eléctricas, estudadas até agora, são as seguintes: AleideGauss, queestudámosnoâmbitodaelectrostática,masqueéumaleigeral também da electrodinâmica: AleideFaraday,queéjáumaleielectrodinâmica: E= ρ ɛ 0 (6.52) A inexistência de cargas magnéticas: E= B (6.53) B=0 (6.54) A lei de Ampère, que estudámos no âmbito da magnetostática e que, conforme veremos, se aplica exclusivamente neste âmbito: B=µ 0 J (6.55) A ligação dos campos eléctrico e magnético governados por estas leis à força que governa o comportamento das cargas é feita através da expressão que, em rigor, serve de definiçaodoscampos-aexpressãodaforçadelorentz: F=q(E+v B) (6.56) Finalmente, acresce um outro princípio fundamental obsevado na Natureza, que é o princípio da conservação da carga eléctrica, traduzido na equação local: J= ρ (6.57) 121

8 6.5.2 Problemas da lei de Ampère em electrodinâmica A lei de Ampère da magnetostática claramente enfrenta problemas em situações em que i/ 0. OexemploclássicoéodacargadeumcondensadordecapacidadeC através deumaresistênciar,usandoumafontedetensãov. Conformesabemos,ocondensador carregaprogressivamenteatéàcargafinalq=cv,sendoacarganasplacasnoinstante t descrita pela equação: q(t)=cv ( 1 e t/rc) (6.58) sendo a corrente no circuito: i(t)= dq(t) dt = V R e t/rc (6.59) Esta corrente tende para zero quando t, o que corresponde à situação estacionária em que o condensador está completamente carregado, não havendo corrente no circuito. No entanto, durante o transitório temos corrente no circuito, descrita pela eq. (6.59). Conforme sabemos, esta corrente corresponde à transferência de carga entre as placas do condensador, realizada pela fonte de tensão, não havendo em momento algum corrente a atravessar o dieléctrico que separa as placas(assumido como um perfeito isolador). Consideremos agora, tal como exemplifica a figura 6.3, um circuito de Ampère centrado numelementodofioqueligaabateriaaumadasplacasdocondensador. AleideAmpère, na sua forma integral, afirma que a circulação do campo magnético no circuito de Ampère é simplesmente proporcional à corrente que atravessa uma superfície qualquer assente no circuito de Ampère. É precisamente aqui que reside o problema na aplicação da lei de Ampère a este problema: é que, enquanto durar a carga do condensador, as superfícies intersectadas pelo fio que liga a bateria ao condensador são atravessadas pela corrente I, enquanto que as superfícies que intersectam o dieléctrico, assentes no mesmo circuito de Ampère, não são atravessadas por qualquer corrente. 122

9 Circuito de Ampère Condensador Bateria Figura 6.3: Diagrama ilustrando as dificuldades da lei de Ampère na resolução do processo de carga de um condensador. 123

10 6.5.3 Aleideconservaçãodacargaeacorrentededeslocamento de Maxwell Maxwell reconheceu que as dificuldades da lei de Ampère advêm do facto de ser incompatível com a lei de conservação da carga eléctrica, conforme já tivémos ocasião de sublinhar. De facto, temos: ( B)=µ 0 J (6.60) Atendendoaoresultadogeraldocálculovectorial ( B)=0,resultaimediatamente a condição característica da magnetostática: J=0 (6.61) Maxwell investigou a forma de compatibilizar a lei de Ampère com a lei de conservação da carga eléctrica. Para isso, considerou a alteração necessária para que a lei de Ampère contivesse em si a lei de conservação da carga eléctrica(6.57). Para tal, há necessidade deacrescentarumtermodaformaµ 0 ρ/àdivergênciadaleideampère: ( ( B)=µ 0 J+ ρ ) =0 (6.62) Este novo termo tem as dimensões de uma divergência de uma densidade de corrente, e corresponde a acrescentarum termocom as dimensões de densidade de corrente àlei deampére,istoé: emque B=µ 0 J+µ 0 J Max (6.63) J Max = ρ Atendendo à lei de Gauss, podemos reescrever: (6.64) J Max = (ɛ 0 E) ( ) E = ɛ 0 J Max =ɛ 0 E (6.65) 124

11 A lei de Ampère modificada, designada também lei de Ampère-Maxwell, resulta assim: E B=µ 0 J+µ 0 ɛ 0 ou, na forma integral(por aplicação do teorema de Stokes): B dl=µ 0 (J+J Max ) ds=µ 0 I int +µ 0 ɛ 0 E (6.66) ds (6.67) O termo acrescentado por Maxwell, proporcional a E/, designa-se tradicionalmente por corrente de deslocamento (de Maxwell). Trata-se mais uma vez de uma designação historicamente consagrada, mas fonte de possíveis equívocos, pois não corresponde a uma corrente,istoé,aumtrânsitodecargas. Note-se que oargumentoavançadopormaxwell para corrigir alei deampère é um argumento de natureza puramente teórica, tratando-se de um dos mais notáveis exemplos de um argumento teórico que abre, conforme veremos, todo um novo horizonte a uma área de investigação, e que através dos subsequentes testes experimentais, abre possibilidades até então insuspeitas ao conhecimento e à tecnologia. A própria existência de um ramo de engenharia conhecido por engenharia electrotécnica é disso o mais eloquente testemunho. O condensador revisitado Podemos agora ver como a lei de Ampère-Maxwell descreve o processo de carga de um condensador. Consideremos novamente a figura 6.3, em que o condensador está a ser progressivamente carregado, acumulando uma densidade de carga σ(t) = q(t)/a, onde A é a área das placas. O campo eléctrico entre as placas, conforme sabemos, é simplesmente E(t) = σ(t)/ɛ 0 ê z, sendo nulo no exterior. Procedamos então ao cálculo da circulação do campo magnético através do circuito de Ampère apresentado na figura, através do cálculo do fluxo da densidade de corrente generalizada para uma superfície que atravesse o dieléctrico. Para simplificar, mas sem perda de generalidade, podemos assumir que esta superfícieécilíndrica,detoposdeáreaaigualàáreadasplacas. Ofluxodadensidade decorrentedemaxwell,ɛ 0 E/atravésdestasuperfícieésimplesmente: J Max ds=ɛ 0 E ds= dσ(t) dq(t) ê z dsê z = dt dt ds A =i(t) (6.68) A circulação do campo magnéticoresulta assim, tal como paraocasoem que a superfícieintersectaofioqueligaabateriaàsplacas: B dl=µ 0 i(t) (6.69) 125